设A,F分别是双曲线9x^2-3y^2=1的左顶点和右焦点,点P是其右支上的一点,若△PAF是直角三角形,求P点的坐标

9x²-3y²=1
x²/(1/3)²-y²/(√3/3)²=1

a=1/3,a²=1/9
b=√3/3,b²=1/3
c²=a²+b²=1/9+1/3=4/9,c=2/3
左顶点A(-1/3,0),右焦点F(2/3,0)

9x²-3y²=1得y²=3x²-1/3

若∠APF为直角

设点P(x,y)
|PA|²=(x+1/3)²+y²
|PF|²=(x-2/3)²+y²
|AF|²=(|OA|+|OF|)²=(1/3+2/3)²=1

|PA|²+|PF|²=|AF|²
(x+1/3)²+y²+(x-2/3)²+y²=1
2x²-2x/3+2y²-4/9=0
2x²-2x/3+2(3x²-1/3)-4/9=0
36x²-3x-5=0
(12x-5)(3x+1)=0
x=5/12,<点P在第一象限,x=-1/3舍去>

y=±√(3x²-1/3)=±√[3·(5/12)²-1/3]=±√3/4

点P的坐标为(5/12,√3/4)或(5/12,-√3/4)

若∠PFA为直角

x=2/3,y=±√(3x²-1/3)=±√[3·(2/3)²-1/3]=±1

点P(2/3,1)或(2/3,-1)

综上所述,点P的坐标为(5/12,√3/4)或(5/12,-√3/4)或(2/3,1)或(2/3,-1)